آيا مي دانيد كه :

.......
1- بازي برجهاي هانويي در سال 1883 توسط رياضيدان فرانسوي لوكاس ابداع شد. اين بازي شامل هشت ديسك مي باشد كه با اندازه هاي مختلف روي ميله اي قرار داده شده اند، ديسك ها از ميله A به ميله B منتقل مي شود اين انتقال بايد مطابق دو شرط زير باشد.

1- هر بار بيش از يك حلقه را نمي توان جابجا کرد.

2- هر حلقه كه جابجا مي شود بايد روي ميله خالي و يا روي قرص بزرگتر قرار گيرد و هرگز نبايد حلقه را روي حلقه كوچكتر قرار داد.

چند حركت براي اين كار لازم است؟ اگر يك ديسك به اين مجموعه اضافه كنيم چند حركت اضافي بايد انجام دهيد؟

بازي بالا بر اساس افسانه اي از كشور هندوستان مي باشد بدين شرح که آورده اند در شهر بنارس زير گنبد معبد بزرگ در جايي كه مركز زمين است برهما يكي از سه خدايي مذهب برهمايي روي زمينه اي كه از مفرغ ساخته شده است، سه ميله الماس به ارتفاع يك ارش (آرنج) قرار داده است در شروع عالم روي يكي از ميله ها64 حلقه از طلاي خالص كه در ميان هر كدام از آنها سوراخي وجود دارد گذاشته شده است به نحوي كه يك مخروط ناقص درست شده است.

برهمن ها (پيشوايان مذهب برهمايي) كه روز و شب جاي خود را عوض مي كنند پي در پي حلقه هاي طلايي را به كمك ميله دوم از ميله اول به ميله سوم منتقل مي كنند و براي اين انتقال اين دو شرط هميشه در نظر دارند: كه اولاً يكبار بيشتراز يك حلقه جابجا نشود و ثانياً هرگز حلقه بزرگتر روي حلقه كوچكتر قرار نگيرد. هر وقت برهمن ها كار خود را تمام كنند پايان عالم فرا خواهد رسيد.

 مي دانيم برهمن ها بايد ميله ها را به تعداد 18،446،744،073،709،551،615 مرتبه جابجا كنند (چرا؟) اگر برهمن ها هر ثانيه يك قرص را جابجا كنند بيش از 5 ميليارد قرن طول مي كشد لذا به گفته اين افسانه به آخر دنيا خيلي مانده است.

 

2-  قديمي ترين مربع سحرآميز (وفقي) اولين بار در كتاب «ييه كينگ» در حدود 3000 سال پيش در كشور چين نوشته شده است (شكل1) در اين مربع اعداد طوري نوشته مي شوند كه حاصل جمع اعداد هر ضلع و جمع اعدادي كه روي قطر، قرار گرفته اند با هم مساوي باشند.

شگفتي هاي مربع هاي سحر آميز توجه افراد مختلفی را به خود جلب كرد. به طور نمونه پيروان مكتب فيثاغورث به هر يك از سيارات منظومه شمسي مربعي سحرآميز را نسبت مي دادند و از آن در درمان بيماري هاي نا شناخته كمك مي گرفتند. «در بعضی مناطق ايران مربع هاي وفق را روي كرباسي نوشته و به زير زانوي زن در حال زايمان مي بستند تا زايمان آسان انجام گيرد همچنين در درمان بيماري هاي ناشناخته از مربع ها وفقي استفاده مي كردند».  

 

شكل 1

 

در سال 1420 موسكو پول كشيش يوناني نخستين بار با ديد علمي مربع هاي وفقي را مورد مطالعه قرار داد. بعدها فرما، اويلر و بعضي از رياضي دان هاي ديگر راه حل هايي براي تنظيم مربع هاي وفقي بدست آورند.

مربع هاي سحرآميز داراي ويژگي هاي زيرمي باشند.

 

1- اگر به تمامي اعداد داخل در مربع هاي كوچك عددي ثابت را اضافه كنيم مربع حاصل نيز وفقي است.

    

  

2- اگر هر يك از اعداد مندرج در خانه هاي يك مربع وفقي را در عددي ثابت ضرب و يا تقسيم كنيم باز مربعي وفقي بدست مي آيد.

   

3- هرگاه اعداد مندرج در يك مربع وفقي را به ترتيب از كم به زياد نظير به نظير با جمله هاي يك تصاعد عددي جمع كنيم باز يك مربع وفقي خواهيم داشت.

به طور مثال اگر جمله هاي مربع وفقي s، يعنی 1،2،3،4،5،6،7،8،9 را به ترتيب با. 13،5،6،7،8،9،10،11،12 جمع كنيم يک مربع وفقي خواهيم داشت.

 4- هر گاه عددهاي مندرج در دو مربع وفقي را نظير به نظير جمع كنيم يك مربع وفقي جديد به دست مي آيد.

 

 

 

5- هر مربع وفقي را مي توان با جابجاكردن عددهاي مندرج در آن به شكل هاي مختلف نوشت.

 

 

 

3- يامبيليخوس (Iambilichus) نويسنده كتاب «حكمت الهي قوانين حساب» متوفي به سال 325 ميلادي، نخستين كسي است كه بر روي عددهاي همدوست (متحابه) كار كرده است.
مي دانيم كه دو عدد را همدوست يا متحابه گويند هر گاه مجموع مقسوم عليه هاي يكي برابر ديگري باشد (و برعكس).

يامبيليخوس نخستين بار دو عدد 284 و 220 را يافت كه داراي اين ويژگي بودند. توجه داشته باشيد كه مقسوم عليه هاي 284 عبارتنداز :

 

 

1،2،4،71،142

و داريم :

220=142+71+4+2+1

 

همچنين مقسوم عليه هاي 220 عبارتند از :

 

1،2،4،5،10،11،20،22،44،55،110

 

و داريم :

 

284=110+55+44+22+20+11+10+5+4+2+1

در قرن نهم ميلادي «ثابت بن قره بن مروان حراني»، رساله اي به نام «مقالة في استخراج اعداد متحابه» نوشت از رياضي دانان ملي ايران كه در اين زمينه كار كرده اند مي توان از كمال الدين فارسي، غياث الدين جمشيد كاشاني، ملا محمد باقر يزدي، قطب الدين شيرازي و محمد بن محمود آملي را نام برد. به نوشته تاريخ علوم پيرفرما (pierre fermat)، دومين جفت عددهاي همدوست يعني عددهاي 17296 و 18416 را در سال 1636 ميلادي يافته است و در سال بعد رنه دكارت (Rene Descartes) سومين جفت عددهاي همدوست را كه عبارتند از : 9437056،9363584 پيدا كرده است. اين در حالی است که ملامحمد باقر يزدي در كتاب عيون الحسنات دو عدد همدوست 9363584 و 9437056 را قبل از دكارت و فرما پيدا كرده است. لئونارد اويلر (Leonard Euler) بيش از سي جفت از اعداد همدوست را پيدا كرده است.

در سال 1886 نيكولا پاگانيني(Nicola Paganini)
 در 16 سالگي دو عدد همدوست 1186 و 1210 را يافت كه موجب حيرت همگان شد زيرا اين دو عدد نسبت به اعداد شناخته شده قبلي كوچكتر بودند.

 

  

حل مساله و پوليا

 

مقدمه : در سال 1976 لستر ضمن تحقيقي كه بر روي دانش آموزان كلاس سوم و پنجم دبستان آمريكا انجام داد به اين نتيجه رسيد كه ضعف يادگيرندگان در رياضيات به مقدار زيادي در ضعف آنان در حل مسائل مربوط مي شود كه اين ضعف در مسائل معمولي كمتر و در مسائل غير معمولي (مسائلي كه اطلاعات غير ضروري يا اطلاعات مبهمي در آنها وجود دارد) بيشتر است.
همينطور گزارش لستر در سال 1978 كه بر روي دانش آموزان دوره راهنمايي انجام داد و
گزارش كار پنتر– ليندكويست – سيلور در سال 1979 بر روي دانش آموزان متوسطه در كالج انجام دادند ادعاي لستر (در سال 1976) را تاييد نمودند.

اين گزارش ها و گزارش هاي شبيه به آنها متخصصان آموزش رياضي را وادار كرد كه به بررسي ريشه هاي اين ضعف بپردازند. تا قبل از اين گزارش ها اكثر متخصصين ضعف در حل مساله را به ضعف دانش آموز و يادگيرندگان در اكتساب اصول مفاهيم و روشهاي مربوط به حل مسئله مي دانستند (ساليوان 1976). اما گزارش هاي سزتلا (1981)، هوك (1980)، لاركين (1982) حاكي از اين حقيقت بود كه ضعف يادگيرندگان در حالي است كه اصول مفاهيم مهارتها را كسب نموده اند ولي قادر نيستند از اين اصول و مفاهيم و مهارتها در موقعيت هاي جديد استفاده نمايند. لذا معتقد بودند كه اگر چه اصول و مفاهيم و مهارتها در حل مسائل لازم مي باشد اما كافي نيست. تا اينكه در دهه اخير صاحب نظران نامداري از متخصصان آموزش رياضي نظير آلن شوئنفيلد (1985)، بوركوسكي (1988)، كاي (1990)، لستر (1988)، حل مسئله را به عنوان يك فعاليت پيچيده شناختي مطرح نمودند. آنها موفقيت در حل مسئله را علاوه بر اكتساب اصول – مفاهيم – روشها، منوط به آگاهي فرد از دانسته هاي خود در زمينه رياضي و نحوه استفاده از اين آگاهي ها و همچنين توانايي فرد در بازبيني عملكرد خود در حين حل مسئله و بعد از حل مسئله يا به عبارتي توانايي هاي فراشناختي دانستند. فرا شناخت را اولين بار فلاول (در سال 1973) بصورت زير مطرح كرد :

«فرا شناخت به شناخت فرد دربارة فرايندهاي شناختي خويش و چيزهاي ديگر مربوط به آن اطلاق مي شود… فراشناخت از جمله به طرح ريزي و برنامه ريزي و به دنبال آن نظارت در مورد اجراي آنها گفته مي شود».

در واقع فراشناخت به يكي از اصلي ترين مسائل در مورد تدريس حل مسئله پاسخ مي دهد كه”انسانها در موقع حل مسئله دقيقاً چه مي كنند“.

مطالعات متعدد نشان داده است كه ايجاد توانايي هاي فراشناختي و حل مسئله براي يادگيري رياضي لازم و ملزوم يكديگرند.

آلن شوئنفيلد (1987) با توجه به تعريف فراشناخت تحقيقات در مورد فراشناخت را در محيط آموزش رياضي در سه مقوله زير خلاصه كرد.

1-             خودآگاهي (Self-Awareness) :

به معني اينكه دانش شما در مورد شناخت خودتان چيست به اين معني كه تا چه اندازه قادر به توضيح فرايند فكري خويش هستيد؟

 

2-             كنترل و خود نظمي:

 (Control And Self Regulation) يعني آيا مي توانيد آنچه را انجام مي دهيد رديابي كنيد.

 

3-        نظام باوري (Belif-System)   :

يعني تصورات و جهان بيني شما در مورد خودتان، رياضي، و حل مسئله چيست؟ كه به عقيده شونفيلد نظام باوري تاثير زيادي بر توانايي واجراي حل مسائل دارد به طور مثال: اگر يادگيرندگان باور داشته باشند كه انجام دادن رياضي تنها كار رياضي دان ها مي باشد و يا هر مسأله اي بايد در مدت محدودي به فرض ده دقيقه حل شود يا اثبات قضيه ها ارتباطي با كشف و جستجو ندارد طبيعي است كه انگيزه آنها نسبت به يادگيري كم مي شود و تلاش و كوشش آنها محدود مي شود.

نقطه نظرات بالا ديد تحقيقات جديدي را در آموزش رياضي گشوده است.

به عنوان مثال مطالعه در مورد خودآگاهي به مطالعات فراحافظه و مطالعات در مورد كنترل خودنظمي به تحقيق در مورد چگونگي طراحي و برنامه ريزي، نظارت، فرضيه سازي و آزمايش آن انجاميده است.

براي هدايت مسئله حل كن، بايد او را بيشتر به استراتژي هاي فرا شناختي آشنا كرد. براي تدريس حل مسئله در كلاس درس سه استراتژي فراشناختي كار در گروه هاي كوچك همكاري Cooperative Small Group work) )،
 بحث همگاني در كلاس (Whole –Class Discussion)و نوشتن بازتابي (Reflective Writing) مطرح شده است كه به اختصار اشاره مي شود.

 

1-               كار در گروه هاي كوچك :

ابتدا كلاس درس را به گروه هاي كوچك بايد تقسيم كرد و بطور مثال گروه هاي 3 نفره يا 4 نفره تقسيم كرد. زيرا بقول ويكوتكسي (1976) باعث مي شود به «دامنه توسعه تقريبي» Zone of Development opproximal)) برسند يعني توانايي بالقوه اي كه در كودك (يا فرد در سني خاص) وجود دارد با كمك دوستان و همكاري ديگران بارور شود.

 

كار در گروه هاي خيلي كوچك اگر بصورت برنامه ريزي شده و با راهنمايي و نظارت معلم انجام شود و توانايي های  فراشناختي يادگيرندگان را بالا مي برد.

 

1-            بحث همگاني در كلاس :

به معني جمع آوري نظرات گروه هاي كوچك و ارائه آنها به تمام كلاس است. كارگروهي و بحث همگاني لازم و ملزوم يكديگرند.

بحث همگاني به فراگيران كمك مي كند تا با روشهاي حل مسئله و با انواع فهميدن ها و بد فهمي هاي دانشجويان ديگر آشنا شود و با تجزيه و تحليل قرار دادن هر يك از راههاي پيشنهاد شده بهترين راه حل را انتخاب كند.

بحث همگاني و كار گروهي تاثير زيادي بر باور يادگيرندگان دارد و اعتماد به نفس آنها را بالا مي برد و در مي يابند مساله تنها با يك روش حل نمي شود.

 

2-            نوشتن بازتابي :

نوشتن بازتابي به معني اين است كه از فراگيرندگان خواسته مي شود كه با بازتاب بر جريان حل مساله در گروه هاي كوچك در كلاس به بررسي چگونگي فهميدن خويش، احساس شان ، خوب فهميدن ها و بد فهمي هاي خود بپردازند.

كه اين كار به معلم كمك مي كند كه با مشكلات يادگيرندگان آشنا شود و لذا معلم بتواند روش تدريس خود را متناسب با نيازهاي آنها تغيير دهد.

البته چنين كاري نيازمند صبر و حوصله و ايثار معلم و جلب اعتماد متعلم توسط معلم مي باشد.

توماس ويشال (1990) معتقد است «اگر زحمت چنين كاري تابع درجه دوم باشد سود آموزشي حاصل از آن و رضايت معلم از يادگيري ياد گيرندگان به صورت تابع نمايي است.»

پايه اساس تمامي نظرات بالا در مورد حل مساله و ايده بسياري از صاحب نظران آموزش رياضي بر مبناي كتاب (How to solve it) پوليا مي باشد و يا اينكه حداقل تاثير بسزايي از اين كتاب و كارهاي ديگر پوليا گرفته اند كه براي آشنايي خوانندگان گرامي خلاصه اي از نظرات پوليا را كه، در كتاب چگونه مساله را حل مي كنيم آمده است به صورت زير مي آوريم.

 

پوليا و حل مسئله :

در سال 1945 جورج پوليا با نوشتن كتاب (How to solve it) براي اولين بار مدل يا چارچوبي براي حل مسئله ارائه داد اين چارچوب را پوليا در چهار مرحله زير مطرح مي كند.

 

1.      فهم سؤال

2.      تهيه طرح يا نقشه

3.      اجراي طرح

4.      بازنگري

كه به طور خلاصه هر كدام را به صورت زير مي توان توضيح داد :

 

1) فهميدن مسئله

پاسخ به پرسشي كه فهميده نشده كاري عبث و بيهوده مي باشد لذا معلم بايد از افتادن چنين اتفاقي در كلاس جلوگيري كند و علاوه بر آن ميل به پاسخ را در دانش آموز ايجاد كند. بنابراين ابتدا معلم بايد از شاگرد بخواهد مسئله را بصورت روان بيان كند و سپس مشخص كند كه مسئله از نوع (ثابت كردني) يا (پيدا كردني) است. لذا شاگرد بايد بتواند بخش هاي اصلي مسئله كه مجهول و دادهجها و شرط است بيان كند. لذا معلم نبايد پرسش هاي زير را فراموش كند :‌

مجهول چيست؟ داده ها كدام است؟ شرط چيست؟ آيا تحقق يافتن شرط مسئله امكان پذير است؟ آيا شرط مسئله براي تعيين مجهول كفايت مي كند؟ يا اين كه شرط مسئله كافي است؟ آيا شرط مسئله زائد است؟ آيا در شرط مسئله تناقض است؟

 

حال معلم مي تواند به شاگردان پيشنهاد دهد كه :

در صورت امكان شكلي رسم كنيد

علائم مناسب را به كار ببريد

قسمت هاي مختلف شرط را از هم جدا كنيد

به منابع ديگر براي يافتن لغات و عبارت هاي كليدي رجوع كنيد.

 

2) تهيه طرحي مناسب براي مسئله :

معلم در اينجا بايد از شاگرد بخواهد ارتباط ميان داده ها و مجهول را پيدا كند و در صورت نيافتن ارتباط مستقيمي ميان داده ها و مجهول مسئله هاي كمكي را در نظر بگيرد تا بتواند براي حل مسئله نقشه اي طرح كند لذا از طرف معلم سئوالات زير براي طرح نقشه، توسط شاگرد مي تواند مفيد باشد.

در اين جا مسئله اي وابسته به مسئله شما وجود دارد كه قبل از اين حل شده است آيا مي توانيد آنرا به كار ببريد؟ آيا مي توانيد روش به كار رفته در آن را در اين مسئله به كار ببريد؟ آيا بايد يك عنصر كمكي را وارد كنيد تا به كار بردن آن را ممكن سازد؟ آيا مي توانيد صورت مسئله را به صورت ديگري بيان كنيد؟

اگر نمي توانيد مسئله طرح شده را حل كنيد ابتدا به حل كردن مسئله وابسته به آن بپردازيد. آيا مي توانيد مسئله وابسته را كه بيشتر در دسترس باشد تحليل كنيد؟

با يك مسئله كلي تر؟ با يك مسئله خاص تر؟ با يك مسئله مشابه؟

آيا مي توانيد يك قسمت از مسئله را حل كنيد؟ تنها يك جزء از شرط را نگاه داريد. و باقي آن را كنار بگذاريد در اين صورت مجهول تا به چه اندازه معلوم مي شود و چگونه تغيير مي كند؟ آيا مي توانيد از داده ها چيز سودمندي استخراج كنيد؟

آيا داده هاي ديگري به فكر شما خطور مي كند كه بتواند براي به دست آوردن مجهول سودمند باشد؟

آيا مي توانيد مجهول با داده ها يا در صورت لزوم هر دو را چنان تغيير دهيد كه مجهول تازه و داده هاي تازه به يكديگر نزديكتر باشند؟

آيا همه داده ها را به كار برده ايد؟ آيا همه شرط ها را به كار برده ايد؟ آيا همه مفاهيم اصلي مندرج در مساله را بكار برده ايد؟

چند نمونه از استراتژي هاي كه در طول حل مساله ممكن است بكار روند بقرار زير مي باشد:

تهيه مدل يعني رسم الگوي مشابه يا منحني متناسب با موقعيت مساله

تهيه فهرست جدولجها و منحني هاي منظم و سازمان يافته و جستجو براي الگو كاركردن برعكس

انتخاب هاي نمادهاي مناسب

مشخص كردن اطلاعات داده شده مورد احتياج و خواسته شده

نوشتن يك معادله يا يك فرمول حل ساده تر و مرتبط با مساله داده شده

تقسيم يك مساله به زير مساله هاي مختلف وحل هر كدام از آنها

استفاده از استدلال استنتاجي

كنترل فرضيه هاي پنهان در صورت مسالهحدس يك جواب و آزمايش آن

تغيير نحوه نگرش به مساله (تغيير ديدگاه)

3) اجراي طرح (نقشه):

 پس از آنكه طرح مناسب براي حل مساله تهيه شد بايد آن را به مورد اجرا گذاشت.

شخص بايد نظارت كامل به پيشرفت اجراي طرح داشته باشد تا اگر زماني احساس كند كه طرح كشيده شده او را به هدف كه همان حل مساله
مي باشد رهنمون نكند بتواند طرح جديدي را تهيه و اجرا بكند.

سوالاتي كه در ضمن اجراي نقشه معلم مي تواند از شاگرد بپرسد بصورت زير مي باشد. آيا طرحي كه تهيه كرده ايد شما را به حل مساله هدايت مي كند؟

آيا لازم است كه طرح فعلي را كنار گذاشته و طرح جديدي تهيه كند؟

آيا براي اجراي طرح خود به اطلاعات اضافه تر يا كمك ديگران نيازمند مي باشيد؟

4) بازنگري :

 امتحان كردن جوابي كه بدست آمده است پس از پايان اجرا، حل كننده مساله بايد بازنگري بر تمامي مراحل اجراي طرح داشته باشد و يك بررسي كلي در مورد مساله انجام دهد از جمله سوالاتي كه معلم مي تواند در بازنگري مساله از شاگرد بپرسد به صورت زير مي باشد:

آيا نكاتي در مساله وجود دارد كه در حل مسائل ديگر مي تواند مورد استفاده قرار گيرد.

آيا مي توان مساله هاي مرتبط با اين مساله را مطرح كنيد و آنها را حل كنيد.

آيا فكر مي كنيد تمامي راه حل هاي ممكن را يافته ايد؟ آيا مساله راه حل ديگري دارد؟

آيا مي توانيد نتيجه را از راهي ديگر به دست آوريد.

آيا مي توانيد نتيجه يا روش را در مساله هاي ديگر بكار بريد.

بايد توجه داشت تمامي مراحل بالا و سوالات بالا را فرد مي تواند ضمن حل مساله از خودش بپرسد و ضمن حل مساله اجرا كند.

مثال 1 : جريان آب به ميزان r وارد ظرف مخروطي شكل مي شود كه قاعده آن افقي است و رأس مخروط در زير آن قرار گرفته است و شعاع قاعده a و ارتفاع مخروط b است. نرخ (ميزان) بالا آمدن آب را در مخروط در آن هنگام كه عمق آب به y رسيده است را پيدا كنيد.